1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?已知：2×3×5×2＝60,06的因数中含有1对质因数2和5,所以积的末尾有一个零；2×2×7×5×3×5×5＝10500,10500的因数中含有两对质因数2和5,所以积的末尾有

Question

1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?
已知：2×3×5×2＝60,06的因数中含有1对质因数2和5,所以积的末尾有一个零；
2×2×7×5×3×5×5＝10500,10500的因数中含有两对质因数2和5,所以积的末尾有两个零.
以此类推,1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零?
我觉得要看这当中有几对质因数2和5,但是一至一百这么多数,总不能一个一个排列出来去数吧.所以,求高人赐教,有什么方法做这道题.

Answer 1

法一：将原式分解质因数,也就是说将它写成完全由质因数乘积的形式,如果要形成0（或者10）则要看这个质因数乘积的式子中2和5的对数,因为一对形成一个零嘛.
可以很直观的看出来2的个数是明显多于5的,所以只要看5的个数就行了,式子中能分解出5的数有：
5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100
得到5的个数分别是：
1、 1、 1、 1、 2、 1、 1、 1、 1、 2、 1、1、 1、 1、 2、 1
1、 1、 1、 2
总共有24个,所以总共会形成24个0
法二：从1到10,连续10个整数相乘：
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10.
连乘积的末尾有几个0?
答案是两个0.其中,从因数10得到1个0,从因数2和5相乘又得到1个0,共计两个.
刚好两个0?会不会再多几个呢?
如果不相信,可以把乘积计算出来,结果得到
原式=3628800.你看,乘积的末尾刚好两个0,想多1个也没有.
那么,如果扩大规模,拉长队伍呢?譬如说,从1乘到20：
1×2×3×4×…×19×20.这时乘积的末尾共有几个0呢?
现在答案变成4个0.其中,从因数10得到1个0,从20得到1个0,从5和2相乘得到1个0,从15和4相乘又得到1个0,共计4个0.
刚好4个0?会不会再多几个?
请放心,多不了.要想在乘积末尾得到一个0,就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘.在乘积的质因数里,2多、5少.有一个质因数5,乘积末尾才有一个0.从1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一个质因数5,乘积末尾只可能有4个0,再也多不出来了.
把规模再扩大一点,从1乘到30：
1×2×3×4×…×29×30.现在乘积的末尾共有几个0?
很明显,至少有6个0.
你看,从1到30,这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数.从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数,可以得到6个0.
刚好6个0?会不会再多一些呢?
能多不能多,全看质因数5的个数.25是5的平方,含有两个质因数5,这里多出1个5来.从1乘到30,虽然30个因数中只有6个是5的倍数,但是却含有7个质因数5.所以乘积的末尾共有7个0.
乘到30的会做了,无论多大范围的也就会做了.
例如,这次乘多一些,从1乘到100：
1×2×3×4×…×99×100.现在的乘积末尾共有多少个0?
答案是24个.