y'=y/(x+y^2)通解

Question

y'=y/(x+y^2)通解

Answer 1

解法一：∵y'=y/(x+y²)
∴dx/dy=x/y+y.(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程通解公式,得
原方程的通解是y=e^[-∫(-1/y)dy]*{C+∫ye^[∫(-1/y)dy]dy} (C是积分常数)
=e^(ln│y│)*[C+∫ye^(-ln│y│)dy]
=y[C+∫y(1/y)dy]
=y(C+∫dy)
=y(C+y).
解法二：∵y'=y/(x+y²)
∴dx/dy=x/y+y.(1)
∵方程(1)的齐次方程是dx/dy=x/y
==>dx/x=dy/y
==>ln│x│=ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Cy
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为x=C(y)y (C(y)表示关于y的函数)
代入方程(1),得C'(y)y+C(y)=C(y)y/y+y
==>C'(y)=1
==>C(y)=C+y (C是积分常数)
即方程(1)的通解是x=y(C+y)
故原方程的通解是x=y(C+y) (C是积分常数).