将f（x）=1x展开成x-3的幂级数，并求收敛域．

Question

将f（x）=(1)/(x)展开成x-3的幂级数，并求收敛域．

Answer 1

∵f(x)=(1)/(3+(x-3))=(1)/(3)•(1)/(1+((x-3)/(3)))，
而 

∞

n=0

(-1)nxn=(1)/(1+x)，x∈（-1，1），
∴(1)/(3)•(1)/(1+((x-3)/(3)))=

∞

n=0

(-1)n(1)/(3)•((x-3)/(3))n=

∞

n=0

(-1)n((1)/(3))n+1(x-3)n，其中-1＜(x-3)/(3)＜1，即0＜x＜6．
又当x=0时，级数为

∞

n=0

(1)/(3)发散；当x=6时，级数为

∞

n=0

(-1)n•(1)/(3)发散，
故(1)/(x)=

∞

n=0

(-1)n((1)/(3))n+1(x-3)n，x∈（0，6）