求求1/(2n-1)4^n的和.幂级数关于求和问题的研究

Question

求求1/(2n-1)4^n的和.幂级数 关于求和问题的研究

Answer 1

　　应该是 Σ(n≥1){1/[(2n-1)(4^n)]} 的求和问题.令
　　　f(x) = Σ(n≥1){[x^(2n-1)]/(2n-1)},|x|<1,
则
　　　f'(x) = Σ(n≥1)[x^(2n-2)]
　　　　　= Σ(n≥1)[(x^2)^(n-1)]
　　　　　= 1/[1-(x^2)],|x|<1,
所以
　　　f(x) = ∫[0,x]{1/[1-(t^2)]}dt
　　　　　= (1/2)∫[0,x]{1/(1+t)+1/(1-t)]}dt
　　　　　= (1/2)ln[(1+x)/(1-x)],|x|<1,
于是,
　　　Σ(n≥1){1/[(2n-1)(4^n)]}
　　= (1/2)Σ(n≥1){[(1/2)^(2n-1)]/(2n-1)}
　　= (1/2)f(1/2)
　　= (1/2)*(1/2)ln[(1+1/2)/(1-1/2)]
　　= …….