一个高数题X的n次方减去a的n次方总体除以X-a;最后结果为=X(n-1)+aX(n-2)+……+a(n-1)小括号均为@次幂,怎么推的

Question

一个高数题
X的n次方减去a的n次方 总体除以X-a;最后结果为=X(n-1)+aX(n-2)+……+a(n-1)小括号均为@次幂,怎么推的

Answer 1

这个不是显然的...
要证明的话用数学归纳
x^2-a^2=(x-a)(x+a)
x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)
假设
x^n-a^n=(x-a)(x^(n-1)+a x^(n-2)+...+a^(n-2) x+a^(n-1))
成立
则
(x-a)(x^n+a x^(n-1)+...+a^(n-1) x+a^n)
=(x-a)[(x^(n-1)+a x^(n-2)+...+a^(n-2) x+a^(n-1))x+a^n]
=(x-a)[(x^(n-1)+a x^(n-2)+...+a^(n-2) x+a^(n-1))x]+(x-a)a^n
=(x^n-a^n)x+(x-a)a^n
=x^(n+1)-a^(n+1)
得证n+1时也成立