（2014•淄博三模）己知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，M、N是AB，CC1的中点．（I）求证：CM∥平面A1BN．（Ⅱ）求证：A1C⊥BN．

Question

（2014•淄博三模）己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M、N是AB，CC₁的中点．
（I）求证：CM∥平面A₁BN．
（Ⅱ）求证：A₁C⊥BN．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取A₁B的中点P，连接PM，PN．因为 M，P分别是AB，A₁B的中点，
∴PM∥AA₁，PM＝(1)/(2)AA1，

又∵AA₁∥CC₁，
∴PM∥CN且PM=CN
∴四边形PMCN为平行四边形，
∴PN∥CM．
又∵CM⊄平面A₁BN，PN⊂平面A₁BN，
∴CM∥平面A₁BN． 
（Ⅱ）取AC的中点O，连结BO，ON．
由题意知 BO⊥AC，
又∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∴BO⊥平面A₁ACC₁．         
∵A₁C⊂平面A₁ACC₁
∴所以BO⊥A₁C
∴四边形A₁ACC₁为菱形，
∴A₁C⊥AC₁
又∵ON∥AC₁，所以 A₁C⊥ON
∴A₁C⊥平面BON，又 BN⊂平面BON
∴A₁C⊥BN．