设Z属于C,若Z的模等于1,且Z不等于±i,证明Z除以1＋Z^2一定为实数

Question

设Z属于C,若Z的模等于1,且Z不等于±i,证明Z除以1＋Z^2一定为实数

Answer 1

LZ,解设a,b,c为正实数,令x=a/b,y=b/c,z=c/a,显然满足xyz=1.因为x(1+z)>1,(a/b)*(1+c/a)>1 c+a>b,同样可得:y(1+x)>1 a+b>c,z(1+y)>1 b+c>a,所以a,b,c可构成一个三角形.待证不等式作置换后等价于,在三角形ABC中,2(a^2*c+b^2*a+c^2*b)>=a^2*b+b^2*c+c^2*a+3abc (1) 关于(1)式的证明有许多证法,下面仅给出两种证法.证法一 不等式(1)等价于 -6abc>=2(a^2*b+b^2*c+c^2*a)-4(a^2*c+b^2*a+c^2*b) 上式两边各加a^2*b+b^2*c+c^2*a+a^2*c+b^2*a+c^2*b a^2*b+b^2*c+c^2*a+a^2*c+b^2*a+c^2*b-6abc>=3(a^2*b+b^2*c+c^2*a-a^2*c-b^2*a-c^2*b) a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(a-b)^2>=3(a-b)*(b-c)*(a-c) 因为a>｜b-c｜,b>｜a-c｜,c>｜a-b｜,故欲证上式仅需证 [｜b-c｜]^3+[｜a-c｜]^3+[｜a-b｜]^3≥3｜(a-b)*(b-c)*(a-c)｜.