（2007•浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．

Question

（2007•浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（I）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．

Answer 1

方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，AB＝2√(2)a，M是AB的中点，
所以DE=3a，EM＝√(3)a，MD＝√(6)a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以MF＝(EM•MD)/(DE)＝√(2)a．
在Rt△CMF中，tan∠FCM＝(MF)/(MC)＝1，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为

EM

＝(−a，a，−a)，

CM

＝(a，a，0)，
所以

EM

•

CM

＝0，故EM⊥CM．

（II）设向量n=（1，y₀，z₀）与平面CDE垂直，则n⊥

CE

，n⊥

CD

，
即n•

CE

＝0，n•

CD

＝0．
因为

CE

＝(2a，0，a)，

CD

＝(0，2a，2a)，
所以y₀=2，x₀=-2，
cos〈n，

CM

＞＝(CM•n)/(|CM|•|n|)＝(√(2))/(2)，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与

CM

夹角的余角，
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．