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已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小.
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已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小.
▼优质解答
答案和解析
∵由sinA(sinB+cosB)-sinC=0
∴sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0.
∴sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0.
∴sinB(sinA-cosA)=0.
因为B∈(0,π),所以sinB≠0,从而cosA=sinA.
由A∈(0,π),知A=
从而B+C=
π.
由sinB+cos2C=0得sinB+cos2(
π-B)=0.
即sinB-sin2B=0.亦即sinB-2sinBcosB=0.
由此得cosB=
,
∴B=
,C=
.
∴sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0.
∴sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0.
∴sinB(sinA-cosA)=0.
因为B∈(0,π),所以sinB≠0,从而cosA=sinA.
由A∈(0,π),知A=
π |
4 |
3 |
4 |
由sinB+cos2C=0得sinB+cos2(
3 |
4 |
即sinB-sin2B=0.亦即sinB-2sinBcosB=0.
由此得cosB=
1 |
2 |
∴B=
π |
3 |
5π |
12 |
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