Rudin数学分析基础拓扑部分的疑问在2.29这个评注中说一个集可以关于Y是开的，然而却不是X的开子集。这句话是什么意思？谁能举个例子？书上写的没看懂，请把Y和X一起说一下。另外集合关

Question

Rudin数学分析基础拓扑部分的疑问
在2.29这个评注中说一个集可以关于Y是开的，然而却不是X的开子集。这句话是什么意思？谁能举个例子？书上写的没看懂，请把Y和X一起说一下。
另外集合关于Y是开的和集合是开子集是一个意思吧？

Answer 1

开子集是一个相对概念，需要指明它所属的大集合，以及其上的拓扑构造。
原书的例子已经说得很详细了：取E=(0,1)，Y=R^1，X=R^2满足条件。
显然E是Y的开子集；但E不是X的开子集了。
取E的某一个点x_0=0.5，作圆盘邻域N(x_0，1)。
则R^2上的一点P(0.5，0.5)∈N(x_0，1)，然而此点P不在开区间E=(0,1)上！
根据定义，E就不是X的开子集了。#