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如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a、b，求证：AD•BD=a2-b2．
题目详情
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a、b，求证：AD•BD=a2-b2．
▼优质解答
答案和解析
证明：作OH⊥AB于H，如图，
连结OA、OC，
∵OH⊥AB，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AD•BD=（AH+DH）（BH-DH）
=（AH+CH）（AH-CH）
=AH2-CH2，
在Rt△AOH中，AH2=OA2-OH2=a2-OH2，
在Rt△COH中，CH2=OC2-OH2=b2-OH2，
∴AH2-CH2=a2-b2，
∴AD•BD=a2-b2．
连结OA、OC，∵OH⊥AB，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AD•BD=（AH+DH）（BH-DH）
=（AH+CH）（AH-CH）
=AH2-CH2，
在Rt△AOH中，AH2=OA2-OH2=a2-OH2，
在Rt△COH中，CH2=OC2-OH2=b2-OH2，
∴AH2-CH2=a2-b2，
∴AD•BD=a2-b2．
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