离散数学中的二元关系是什么意思?是只有两个元素吗?

Question

离散数学中的二元关系是什么意思?是只有两个元素吗?

Answer 1

二元关系
设S是一个非空集合,R是关于S的元素的一个条件.如果对S中任意一个有序元素对（a,b）,我们总能确定a与b是否满足条件R,就称R是S的一个关系（relation）.如果a与b满足条件R,则称a与b满足条件R,则称a与b有关系R,记做aRb;否则称a与b无关系R.关系R也成为二元关系.
定义：
集合 X 与集合 Y 上的二元关系是 R=(X, Y, G(R)) 当中 G(R),称为R 的图,是笛卡儿积 X × Y的子集.若 (x,y) ∈ G(R) 则称 x 是 R-关系於 y 并记作 xRy 或 R(x,y).
但经常地我们把关系与其图等价起来,即若 R ⊆ X × Y 则 R 是一个关系.
例子：有四件物件 {球,糖,车,枪} 及四个人 {甲,乙,丙,丁}. 若甲拥有球,乙拥有糖,及丁拥有车－即无人有枪及丙一无所有－则二元关系"为...拥有"便是
R=({球,糖,车,枪}, {甲,乙,丙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)}).
其中 R 的首项是物件的集合,次项是人的集合,而未项是由有序对（物件,主人）组成的集合.比如有序对（球,甲）以球R甲 表示,代表球为甲拥有.
不同的关系可以有相同的图.以下的关系 ({球,糖,车,枪}, {甲,乙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)} 中人人皆是物主,所以与 R 不同,但两者有相同的图.
话虽如此,我们很多时候索性把R 定义为 G(R) 而 "有序对 (x,y) ∈ G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈ R".
二元关系可看作成二元函数,这种二元函数把输入元 x ∈ X 及 y ∈ Y 视为独立变数并求真伪值（包括「有序对(x, y) 是或非二元关系中的一元.」此一问题）.
若 X=Y,则称 R为 X上的关系.
特殊的二元关系：
设$A$是一个集合,则
空集$\backslash emptyset$称作$A$上的空关系
$E\_\; =\; A\; \backslash times\; A$称作$A$上的全域关系
$I\_\; =\; \backslash \{(x,\; x)|x\; \backslash in\; A\backslash \}$称作$A$上的恒等关系
《离散数学》 西安电子科大版