微分方程题在上半平面求一条下凸曲线,使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度值的倒数（Q是法线与X轴的交点）,且曲线在点（1,1）处的切线与X轴平行

Question

微分方程题
在上半平面求一条下凸曲线,使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度值的倒数（Q是法线与X轴的交点）,且曲线在点（1,1）处的切线与X轴平行

Answer 1

K=y''/(1+y'^2)^(3/2)
P(x,y) PQ=(y'^2+1)y
y''/(1+y'^2)^(3/2)=1/[(1+y'^2)y]
y''/(1+y'^2)^(1/2)=1/y
y'=p y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy
(pdp/dy)/(1+p^2)^(1/2)=1/y
(1/2)dp^2/(1+p^2)^(1/2)=dy/y
ln|1+p^2|=lny
p^2=Cy-1
p=√(Cy-1)
dy/dx=√(Cy-1) y=1,dy/dx=0,C=1
dy/dx=√(y-1)
dy/√(y-1)=dx
2√(y-1)=x+C x=1,y=1,C=-1
曲线：2√(y-1)=x-1