如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(x+y2)≤f(x)+f(y)2，则称这个函数是下凸函数，下列函数（1）f（x）=2x；（2）f（x）=x3；（3）f（x）=log2x（x>0）；（4）f(x)=x，x<02x

Question

如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(

(x+y)/(2))≤(f(x)+f(y))/(2)，则称这个函数是下凸函数，下列函数
（1）f（x）=2^x；
（2）f（x）=x³；
（3）f（x）=log₂x（x>0）；
（4）f(x)=

x，	x<0
2x，	x≥0

中是下凸函数的有（　　）

A. （1），（2）

B. （2），（3）

C. （3），（4）

D. （1），（4）

Answer 1

∵函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f((x+y)/(2))≤(f(x)+f(y))/(2)，
∴f″（x）≥0
（1）f（x）=2^x，则f′（x）=2^x•ln2，∴f″（x）=2^x•ln²2>0，∴函数是下凸函数；
（2）f（x）=x³，则f′（x）=3x²，∴f″（x）=6x，∴函数不是下凸函数；
（3）f（x）=log₂x，则f′（x）=(1)/(xln2)，∴f″（x）=-(1)/(x2ln2)<0，∴函数不是下凸函数；
（4）x<0时，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0时，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函数是下凸函数
故选D．