二阶导数的变号零点能反映函数的什么性质?

Question

二阶导数的变号零点能反映函数的什么性质?

Answer 1

二阶导数的正负决定了函数的凸凹性.
凸凹性定义：
上凸：在定义域D中,任取不相等的两个自变量x1,x2,总有(f(x1)+f(x2))/2f((x1+x2)/2)
简单来说,就是函数增（或） 减的快慢.
举个例子,例如y=x,它的一阶导数y'=1,二阶导数y''=0,因此它是增函数,而且是均匀增大的.
再比如y=x^2,二阶导数y''=2>0,因此它是下凸函数,在减区间越减越慢,在增区间越增越快.
但是y=x^3,二阶导数y''=6x,在（-∞,0）上为负,为上凸函数,在(0,+∞)为正,为下凸函数.
对比一下三个函数的图像：
（1）没有凸凹性 （2）下凸函数 （3）先上凸 再下凸
凸凹性不是高考考试的重点,因此也不必过于追求把它弄懂.
通俗一点,f(x)就相当于物理上的位移,f'(x)就相当于物理上的速度,f''(x)就相当于物理上的加速度,这样理解可能会好一点.