定义：数列{an}对一切正整数n均满足an+an+22>an+1，称数列{an}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：（1）等差数列{an}一定是凸数列（2）首项a1>0，公比q>0且q≠1的等比数列{an}一定

Question

定义：数列{a_n}对一切正整数n均满足

(an+an+2)/(2)>a_n+1，称数列{a_n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：
（1）等差数列{a_n}一定是凸数列
（2）首项a₁>0，公比q>0且q≠1的等比数列{a_n}一定是凸数列
（3）若数列{a_n}为凸数列，则数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列
（4）凸数列{a_n}为单调递增数列的充要条件是存在n₀∈N^*，使得a n0+1>a_n，其中说法正确的是（　　）

A. （1）（2）

B. （2）（3）

C. （2）（4）

D. （3）（4）

Answer 1

（1）由等差数列{a_n}的性质可得：(an+an+2)/(2)=a_n+1，
不满足(an+an+2)/(2)>a_n+1，故不是“凸数列”；
（2）∵等比数列{a_n}的首项a₁>0，公比q>0且q≠1，
∴a_n=a₁q^n-1>0，
∴(an+an+2)/(2)=(an+anq2)/(2)=a_n•(1+q2)/(2)>a_nq=a_n+1，
∴等比数列是“凸数列”，故正确．
（3）∵数列{a_n}为凸数列，
∴数列{a_n}对一切正整数n均满足(an+an+2)/(2)>a_n+1，
∴a_n+2-a_n+1>a_n+1-a_n，
∴数列{a_n+1-a_n}是单调递增数列，故正确；
（4）①凸数列{a_n}为单调递增数列可得对于任意的n₀∈N^*，都有an0+1>an0；
②对于凸数列{a_n}存在n₀∈N^*，使得an0+1>an0．
则an0+2-an0+1>2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0>0，
如果n₀>1，则此数列不一定是递增数列，故不正确；
综上可知：只有（2）（3）正确，
故选：B．