四个不同的三位数，它们的百位数字相同，并且其中有三个数能整除这四个数的和．求这四个数．

Question

四个不同的三位数，它们的百位数字相同，并且其中有三个数能整除这四个数的和．求这四个数．

Answer 1

设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，设S÷A=K₁，S÷B=K₂，S÷C=K₃，并设A＜B＜C，则K₁＞K₂＞K₃（K₁、K₂、K₃均为整数）．下面我们说明K₁≤6，K₃≥3．如果K₁＞6，设为7，即设S÷A=7，A=(1)/(7)S，B+C+D=S-A=(6)/(7)S，
B、C、D中至少有一个不小于(2)/(7)S，这与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以K₁≤6；同样地，如果K₃＜3，设为2，即C=(1)/(2)S，则A+B+D=S-C=(1)/(2)S，A、B、D中至少有一个不大于(1)/(6)S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以K₃≥3．又因为A、B、C、D不相同，即K₁、K₂、K₃只能是5、4、3或6、5、4，但当K₁=6、K₂=5、K₃=4时，D=S-（A+B+C）=S-（(S)/(6)+(S)/(5)+(S)/(4)）=(23)/(60)S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，
所以，K₁、K₂、K₃只能是5、4、3．此时，S必为3×4×5=60的倍数．设S=60K，则A=12K，B=15K，C=20K，D=13K，但A、B、C、D为百位数字相同的三位数，故K=9，即A=108，B=135，C=180，D=117．
答：这四个数为：108，135，180，117．