如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为___．

Answer 1

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，
∴AB=4，AE=(1)/(2)AB=2，BC=2√(3)．
①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1．

由折叠可得S_△A′EP=S_△AEP，A′E=AE=2，．
∵点E是AB的中点，
∴S_△BEP=S_△AEP=(1)/(2)S_△ABP．
由题可得S_△EFP=(1)/(4)S_△ABP，
∴S_△EFP=(1)/(2)S_△BEP=(1)/(2)S_△AEP=(1)/(2)S_△A′EP，
∴EF=(1)/(2)BE=BF，PF=(1)/(2)A′P=A′F．
∴四边形A′EPB是平行四边形，
∴BP=A′E=2；
②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2．
．
同理可得GP=(1)/(2)BP=BG，EG=(1)/(2)EA′=(1)/(2)×2=1．
∵BE=AE，∴EG=(1)/(2)AP=1，
∴AP=2=AC，
∴点P与点C重合，
∴BP=BC=2√(3)．
故答案为2或2√(3)．