如图，圆锥的高PO=2，底面O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A.12B.32C.23D.13

Question

如图，圆锥的高PO=

√(2)，底面 O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（　　）

A.

(1)/(2)

B.

(√(3))/(2)

C.

(√(2))/(3)

D.

(1)/(3)

Answer 1

因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，
又PO⊥底面 O，AC⊂底面 O，
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA•sin30°=(1)/(2)，
在Rt△POD中，OH=(√(2)×(1)/(2))/(√(2+(1)/(4)))=(√(2))/(3)，
在Rt△OHC中，sin∠OCH=(√(2))/(3)，
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为(√(2))/(3)．
故选C．