这样的矩阵方程为什么不能约分已知J=[111111.]nxn的矩阵,元素都是1.算到这一步：如果把括号去掉,可以得到nJ=J^2,通过验证可以证明.但如果这样计算(n+1)J=J+J^2=（I+J）J两边约掉J（或者说等式

Question

这样的矩阵方程为什么不能约分
已知J=[ 111111.] nxn的矩阵,元素都是1.
算到这一步：
如果把括号去掉,可以得到 nJ=J^2,通过验证可以证明.
但如果这样计算(n+1)J=J+J^2=（I+J）J
两边约掉J （或者说等式两边同时乘以 J^-1）
得到 (n+1)I=I+J,所以J=nI,这样就不对了.
请问这种约分哪里有问题.什么情况下可以用呢.
算到这步：(n+1)J=J+J^2=（I+J）J

Answer 1

n > 1时, 这里的J是不可逆的(秩为1), 因此J^(-1)没有意义.
假设AB = AC (BA = CA类似).
如果A是可逆矩阵, 那么可以得到B = C, 左乘A^(-1)即可.
但当A不可逆, 一般不能得到B = C.
最简单的, 比如A = 0时就不行, 在数的乘法中也一样.
但与数的乘法不同, 矩阵乘法中即便要求A ≠ 0也不行.
究其原因, 在矩阵乘法中, 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
因此由A(B-C) = 0, A ≠ 0, 不能得到B-C = 0.