一个数除以8所得的商数与这个数除以9所得的余数之和13,这个数除以8的余数是多少?要求解答过程

Question

一个数除以8所得的商数与这个数除以9所得的余数之和13,这个数除以8的余数是多少? 要求解答过程

Answer 1

设这个数是x,对这个数除以9所得的余数分类讨论可得：
1）如果x除以9的余数是0,即x整除9,令x = 9k,k是整数；由已知,x除以8的商是13,所以8*13 ≤ 9k < 8*14,所以104/9 ≤ k < 112/9,所以k = 12,对应的x = 9k =108,所以108/8 = 13……4,余数是4；
2）如果x除以9的余数是1,令x = 9k + 1,k是整数；由已知,x除以8的商是12,所以8*12 ≤ 9k + 1 < 8*13,所以95/9 ≤ k < 103/9,所以k = 11,对应的x = 9k + 1= 100,所以100/8 = 12……4,余数是4；
3）如果x除以9的余数是2,令x = 9k + 2,k是整数；由已知,x除以8的商是11,所以8*11 ≤ 9k + 2 < 8*12,所以86/9 ≤ k < 94/9,所以k = 10,对应的x = 9k + 2= 92,所以92/8 = 11……4,余数是4；
4）如果x除以9的余数是3,令x = 9k + 3,k是整数；由已知,x除以8的商是10,所以8*10 ≤ 9k + 3 < 8*11,所以77/9 ≤ k < 85/9,所以k = 9,对应的x = 9k + 3= 84,所以84/8 = 10……4,余数是4；
5）如果x除以9的余数是4,令x = 9k + 4,k是整数；由已知,x除以8的商是9,所以8*9 ≤ 9k + 4 < 8*10,所以68/9 ≤ k < 76/9,所以k = 8,对应的x = 9k + 4= 76,所以76/8 = 9……4,余数是4；
6）如果x除以9的余数是5,令x = 9k + 5,k是整数；由已知,x除以8的商是8,所以8*8 ≤ 9k + 5 < 8*9,所以59/9 ≤ k < 67/9,所以k = 7,对应的x = 9k + 5= 68,所以68/8 = 8……4,余数是4；
7）如果x除以9的余数是6,令x = 9k + 6,k是整数；由已知,x除以8的商是7,所以8*7 ≤9k + 6 < 8*8,所以50/9 ≤ k < 58/9,所以k = 6,对应的x = 9k + 6 = 60,所以60/8 = 7……4,余数是4；
8）如果x除以9的余数是7,令x = 9k + 7,k是整数；由已知,x除以8的商是6,所以8*6 ≤9k + 7 < 8*7,所以41/9 ≤ k < 49/9,所以k = 5,对应的x = 9k + 7 = 52,所以52/8 = 6……4,余数是4；
9）如果x除以9的余数是8,令x = 9k + 8,k是整数；由已知,x除以8的商是5,所以8*5 ≤9k + 8 < 8*6,所以32/9 ≤ k < 40/9,所以k = 4,对应的x = 9k + 8 = 44,所以44/8 = 5……4,余数是4；
综上所述,这个数除以8的余数是4 .