勾股定理的!若正整数a、b、c满足方程a^2+b^2=c^2,则称这一组正整数(a、b、c)为“商高数”,下面列举四组“商高数”：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（12,16,20）,注意这四组商高数的结构有如下规

Question

勾股定理的!
若正整数a、b、c满足方程a^2+b^2=c^2,则称这一组正整数(a、b、c)为“商高数”,下面列举四组“商高数”：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（12,16,20）,注意这四组商高数的结构有如下规律：
4=2×2×1
3=2^2-1^2
5=2^2+1^2
12=2×3×2
5=3^2-2^2
13=3^2+2^2
24=2×4×3
7=4^2-3^3
25=4^2+3^2
16=2×4×4
12=4^2-2^2
20=4^2+2^2
问：用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数,并说明你的结论.

Answer 1

m²＋n²（斜边）
m²－n²（一直角边）
2mn（另一直角边）
（注：其实这是古巴比伦人发现的勾股数通式）
证明：
∵（m²＋n²）²－（m²－n²）＝4m²n²
【公式：（a＋b）²－（a－b）²＝a²＋2ab＋b²－a²＋2ab－b²＝4ab
∵a＝m²,b＝n²,∴4ab＝4m²n²】
且（2mn）²＝4m²n²
∴（m²＋n²）²－（m²－n²）＝（2mn）²
即（m²＋n²）²＝（m²－n²）＋（2mn）²
即这三个数是勾股数.