因式分解X的12次方+X的9次方+X的6次方+X的3次方+1

Question

因式分解
X的12次方+X的9次方+X的6次方+X的3次方+1

Answer 1

知识补充：x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+..+x^2+x+1)
注意到12,9,6,3都为3的倍数.不妨设x^3=t
则原式=t^4+t^3+t^2+t+1=(t^5-1)/(t-1)
=(x^15-1)/(x^3-1)
=[(x^5-1)(x^10-x^5+1)]/[(x-1)(x^2+x+1)]
=(x^4+x^3+x^2+x+1) * (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
注：其中运用到了多项式的除法.
当然还有更暴力的解法,不过这解法不是我想出来的,我也不是很推崇
度娘得到的：
x^12+x^9+x^6+x^3+1
=(x^12+x^11+x^10+x^9+x^8) -(x^11+x^10+x^9+x^8+x^7) +x^9+x^7+x^6+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^7(x^4+x^3+x^2+x+1) +x^9+x^7+x^6+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^7(x^4+x^3+x^2+x+1) +(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5) - (x^8+x^7+x^6+x^5+x^4) +x^7+x^6+x^4+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^7(x^4+x^3+x^2+x+1) +x^5(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^4 (x^4+x^3+x^2+x+1) +x^7+x^6+x^4+x^3+1
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^7(x^4+x^3+x^2+x+1) +x^5(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^4 (x^4+x^3+x^2+x+1) +(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3) -(x^5+x^4+x^3+x^2+x) +(x^4+x^3+x^2+x+1)
=x^8(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^7(x^4+x^3+x^2+x+1) +x^5(x^4+x^3+x^2+x+1) -x^4(x^4+x^3+x^2+x+1) +x^3(x^4+x^3+x^2+x+1) -x(x^4+x^3+x^2+x+1) +(x^4+x^3+x^2+x+1)
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)