(a,b)表示a和b的最大公约数,若(a,b)=1求证(a+b,a-b)=1或2；(a+b,a^2-ab+b^2)=1或3

Question

(a,b)表示a和b的最大公约数,若(a,b)=1 求证(a+b,a-b)=1或2；(a+b,a^2-ab+b^2)=1或3

Answer 1

1.(a+b,a-b)=(2a,a-b)由于(a,b)=(a,a-b)=1(a+b,a-b)=(2a,a-b)=(2,a-b)2.(a+b,a^2-ab+b^2)=(a+b,(a+b)^2-a^2+ab-b^2)=(a+b,3ab)因为(a+b,a)=(a+b,b)=1;->(a+b,ab)=1;=(a+b,3)