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若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数,且a+b+c=1155,则它们的最大公约数的最大值为,最小公倍数的最小值为,最小公倍数的最大值为.
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若 a,b,c 是三个互不相等的大于0的自然数,且a+b+c=1155,则它们的最大公约数的最大值为______,最小公倍数的最小值为______,最小公倍数的最大值为______.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于a+b+c=1155,而1155=3×5×7×11.令a=mp,b=mq,c=ms.则1155=mp+mq+ms=m(p+q+s).m为a,b,c的最大公约数,则p+q+s最小取7.1155=3×5×7×11=3×5×(1+2+4)×11,
即此时m=3×5×11=165.
(2)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数m尽量大,并且使a,b,c的最小公倍数尽量小,所以应使m=165,此时三个数分别为1×165=165,165×2=330,165×4=660.
它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660.
(3)为了使最小公倍数尽量大,应使三个数两两互质且乘积尽量大.
当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近.
由于相邻的自然数是互质的,所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,
而当1155=383+385+387时,三个数两两互质,
它们的最小公倍数为383×385×387=57065085,
即最小公倍数的最大值为57065085.
故答案为:165、660、57065085.
即此时m=3×5×11=165.
(2)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数m尽量大,并且使a,b,c的最小公倍数尽量小,所以应使m=165,此时三个数分别为1×165=165,165×2=330,165×4=660.
它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660.
(3)为了使最小公倍数尽量大,应使三个数两两互质且乘积尽量大.
当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近.
由于相邻的自然数是互质的,所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,
而当1155=383+385+387时,三个数两两互质,
它们的最小公倍数为383×385×387=57065085,
即最小公倍数的最大值为57065085.
故答案为:165、660、57065085.
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