已知a,b是任意两个大于3的质数,那么a^2-1,b^2-1的最大公约数的最小值是多少

Question

已知a,b是任意两个大于3的质数,那么a^2-1,b^2-1的最大公约数的最小值是多少

Answer 1

是24
a^2 - 1 = (a + 1)*(a - 1) 因为a是质数,所以a一定是奇数,那么(a + 1)和(a - 1)就一定是偶数,设(a - 1) = 2p,则(a + 1) = 2(p + 1),那么a^2 - 1 = 2(p + 1)*2p = 4p*(p + 1),所以(a^2 - 1)是4的倍数,而p 和 (p + 1)中必有一个偶数,所以 (a^2 - 1) 一定是8的倍数,又因为(a - 1) ,a ,(a + 1)中一定有一个为3的倍数并且a为质数,所以(a - 1) ,(a + 1)中一定有一个为3个倍数,综上(a^2 - 1)一定是24的倍数.