证明关于x，y，z的方程，x^n+y^n=z^n(n为大于2的整数)没有正整数解

Question

证明关于x，y，z的方程，x^n+y^n=z^n(n为大于2的整数)没有正整数解

Answer 1

据说1995年已经被安德鲁。怀尔斯解决了，论文有200页。用的理论是椭圆曲线和模型式。 我来水一下，说不定就是费尔玛当年的绝妙的想法： 假设X^n+Y^n=Z^n,其中XYZn为正整数，当n>2时，XYZ有正整数解，设n=2+m,而我们知道： 方程X^2+Y^2=Z^2是有解的：x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2,那么 x^(2+m)+y^(2+m)=z^(2+m)意味着：x^2(x^m-1)+y^2(y^m-1)=z^2(z^m-1) 这样，x^m-1=1,y^m-1=1,z^m-1=1,x=2^(1/m),y=2^(1/m),z=2^(1/m) 所以：x=y=z,x^n+y^n=2x^n=z^n=x^n,得出：2=1，矛盾，因此原方程没有正整数解。