设函数f（x）=ex-ax2-ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为-1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=12x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区

Question

设函数f（x）=e^x-ax²-ex+b，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为-1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=(1)/(2)x，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为-1，则过点（0，-1），代入f（x）=e^x-ax²-ex+b，
则1+b=-1，则b=-2，求导f′（x）=e^x-2ax-e，
由f′（1）=-2，即e-2a-e=-2，则a=1，
∴实数a，b的值分别为1，-2；
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax²-ex+b，g（x）=f′（x）=e^x-2ax-e，g′（x）=e^x-2a，
（1）当a≤(1)/(2)时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即g′（x）=e^x-2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=1-e．
（2）当a>(e)/(2)时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a>e^x恒成立，
即g′（x）=e^x-2a<0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴g（x）≥g（1）=-2a
（3）当(1)/(2)<a≤(e)/(2)时，g′（x）=e^x-2a=0，得x=ln（2a），
g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以g（x）≥g（ln2a）=2a-2aln2a-e，
∴h（a）=

1-e	a≤(1)/(2)
2a-2aln2a-e	(1)/(2)≤a≤(e)/(2)
-2a	a>(e)/(2)

，
∴当a≤(1)/(2)时，h（a）=1-e，
当(1)/(2)<a≤(e)/(2)时，h（a）=2a-2aln2a-e，求导，h′（a）=2-2ln2a-2=2ln2a，
由(1)/(2)<a≤(e)/(2)时，h′（a）<0，
∴h（a）单调递减，h（a）∈（1-e，-e]，
当a>(e)/(2)时，h（a）=-2a，单调递减，h（a）∈（-∞，-e），
h（a）的最大值1-e．