已知函数f（x）=exx-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是．

Question

已知函数f（x）= (ex)/(x)-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是___．

Answer 1

由f（x）=(ex)/(x)-kx=0，得(ex)/(x)=kx，
∵x≠0，∴k=(ex)/(x2)，
令g（x）=(ex)/(x2)，则g′（x）=(ex(x-2))/(x3)，
令g′（x）=0，解得x=1，
当x>2或x<0时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增，
当0<x<2时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减．
∴当x=2时，函数有极小值，即g（2）=(e2)/(4)，
且当x<0，时，g（x）∈（0，+∞），
∵函数f（x）=(ex)/(x)-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，
∴0<k<(e2)/(4)，
故答案为：（0，(e2)/(4)）．