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设函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(Ⅰ)若直线y=3x-1是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值;(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e2]上的最大值为1-ae(e为自然对数的底数),求实数a的值.
题目详情
设函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(Ⅰ)若直线y=3x-1是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e2]上的最大值为1-ae(e为自然对数的底数),求实数a的值.
(Ⅰ)若直线y=3x-1是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e2]上的最大值为1-ae(e为自然对数的底数),求实数a的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x)=lnx-ax,得f′(x)=
-a=3,
∴x=
,则f(
)=ln
-
,
∴ln
-
=
-1,得ln
=0,即a=-2;
(2)f′(x)=
-a,
当a≤
时,f′(x)≥0在[1,e2]上恒成立,故f(x)在[1,e2]上为增函数,
故f(x)的最大值为f(e2)=2-ae2=1-ae,得a=
(舍);
当
<a<1时,若x∈[1,
],f′(x)>0,x∈[
,e2],f′(x)<0,
故f(x)在[1,e2]上先增后减,故f(x)max=f(
)=-lna-1
由-lna-1=1-ae,解得a=
;
当a≥1时,故当x∈[1,e2]时,f′(x)≤0,f(x)是[1,e2]上的减函数,
故f(x)max=f(1)=-a=1-ae,得a=
(舍);
综上,a=
.
1 |
x |
∴x=
1 |
a+3 |
1 |
a+3 |
1 |
a+3 |
a |
a+3 |
∴ln
1 |
a+3 |
a |
a+3 |
3 |
a+3 |
1 |
a+3 |
(2)f′(x)=
1 |
x |
当a≤
1 |
e2 |
故f(x)的最大值为f(e2)=2-ae2=1-ae,得a=
1 |
e2-e |
当
1 |
e2 |
1 |
a |
1 |
a |
故f(x)在[1,e2]上先增后减,故f(x)max=f(
1 |
a |
由-lna-1=1-ae,解得a=
1 |
e |
当a≥1时,故当x∈[1,e2]时,f′(x)≤0,f(x)是[1,e2]上的减函数,
故f(x)max=f(1)=-a=1-ae,得a=
1 |
e-1 |
综上,a=
1 |
e-1 |
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