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设函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(Ⅰ)若直线y=3x-1是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值;(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e2]上的最大值为1-ae(e为自然对数的底数),求实数a的值.

题目详情
设函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(Ⅰ)若直线y=3x-1是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e2]上的最大值为1-ae(e为自然对数的底数),求实数a的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f(x)=lnx-ax,得f′(x)=
1
x
-a=3,
∴x=
1
a+3
,则f(
1
a+3
)=ln
1
a+3
-
a
a+3

∴ln
1
a+3
-
a
a+3
=
3
a+3
-1,得ln
1
a+3
=0,即a=-2;
(2)f′(x)=
1
x
-a,
当a≤
1
e2
时,f′(x)≥0在[1,e2]上恒成立,故f(x)在[1,e2]上为增函数,
故f(x)的最大值为f(e2)=2-ae2=1-ae,得a=
1
e2-e
(舍);
1
e2
<a<1时,若x∈[1,
1
a
],f′(x)>0,x∈[
1
a
,e2],f′(x)<0,
故f(x)在[1,e2]上先增后减,故f(x)max=f(
1
a
)=-lna-1
由-lna-1=1-ae,解得a=
1
e

当a≥1时,故当x∈[1,e2]时,f′(x)≤0,f(x)是[1,e2]上的减函数,
故f(x)max=f(1)=-a=1-ae,得a=
1
e-1
(舍);
综上,a=
1
e-1
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