两道数论题,求教各位大师大侠1、证明：任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的各位数字和能被11整除.2、设p是n的最小素约数,n=pm,m>1,证明：若p>n的三次方

Question

两道数论题,求教各位大师大侠
1、证明：任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的各位数字和能被11整除.
2、设p是n的最小素约数,n = pm,m > 1,证明：若p > n的三次方根,则n1是素数.
（第二题中a的b次方根可用sq(a,b)表示

Answer 1

1.
证明:,假设存在一组数没有被11整除的,下面来证明矛盾.
39连续自然数中必定存在个位数字为0的数,找出第一个这样数,最多为第10个数,设为10k.设10k各位数字和除11余r,则r=1,否则10k到10k+9之间存在被11整除数.
10k+10要进位,假设进p位,则各位数字和相对10k+9少了9p-1,而且10k+10数字和被11除余数也必须是1,则p=6+11q,10k+10至多是第20个数；由于p>1,则10k+20进位数只能为1（因为p>1时进位后十位为0）,10k+20各位数字和除11余10-8=2,而且10k+20至多是第30个数,所以10k+20+9,被11整除,这是第39个数,与假设矛盾
2.假设m不是素数,下面来证明矛盾
设q是m的最小素约数,则由于p是n的最小素约数,n = pm,得知q>p
并设m=qr,有r>q,否则q不是m的最小素约数
即r>q>p
n=pqr>p^3
=>
p这与条件矛盾