求解一道概率题!将n只球随机地放进n只盒子中去,一盒装一个.若一只球装入与球同号的盒子称为一个配对,记X为总的配对数,求E(X),D(X).记事件Xi为i号球放进同号的盒子,则x~b(n,1/n).E(X)=np=1,D(X)=np

Question

求解一道概率题!
将n只球随机地放进n只盒子中去,一盒装一个.若一只球装入与球同号的盒子称为一个配对,记X为总的配对数,求E(X),D(X).
记事件Xi为 i 号球放进同号的盒子,则x~b(n,1/n).
E(X)=np=1,D(X)=npq=1-1/n
可能有不少同学是这样做的.就是把放球看成买彩票,买中的概率都是1/n,服从二项分布.
我的观点是,不能看成二项分布,因为Xi不是相互独立事件.因为我们可以算出在1号球放在1号盒中的条件下将2号球放在2号盒的概率,即P(X2/X1)=1/(n-1),又有P(X2)=1/n.若X1 X2相互独立,则P(X2/X1)=P(X2),见书21页定理1.显然不成立.
其实我知道我的观点是不对的，但是错在哪里？

Answer 1

在1号球放在1号盒中的条件下将2号球放在2号盒的概率,是条件概率,应该为1/n * 1/（n-1）
由题目思路看,我们是无法知道哪一个球放在哪一个盒子,再看另外一个球的,所以它们是互相独立的.这个道理和不知道前面抽签的内容,大家轮流抽是等概率的一样（你书上这章最后应该有这个例子）.
你考虑得太多了,按平常的做法做就可以了.