边长为a的正方形4个顶点分别放置电量都是Q的固定点电荷,在对角线的交点O处放置一个质量为m、电量为q的自由点电荷,q与Q同号.今把q沿一条对角线移离O点一个很小的距离至P点.求证：释放q后

Question

边长为a的正方形4个顶点分别放置电量都是Q的固定点电荷,在对角线的交点O处放置一个质量为m、电量为q的自由点电荷,q与Q同号.今把q沿一条对角线移离O点一个很小的距离至P点.求证：释放q后,q做简谐振动,并求其周期.这道题我想了好久,没什么头绪,只证出释放q后,q做简谐振动,但周期就不懂得怎么求了

Answer 1

电荷q受沿偏离对角线的2个顶点固定点电荷的合力
F1=kqQ/(r+OP)^2-kqQ/(r-OP)^2=-kqQ*4r*OP/[(r+OP)(r-OP)]^2=-kqQ*4r*OP/(r^2-OP^2)^2.
因为OP很小,(r^2-OP^2)约等于r^2,所以
F1=-4kqQ*r*OP/r^4==-4kqQ*OP/r^3
电荷q受另外两个顶点固定点电荷的合力
F2=2*kqQ/(r^2+OP^2)*OP/sqrt(r^2+OP^2)=2kqQ*OP/(r^2+OP^2)^(3/2)
因为OP很小,(r^2+OP^2)约等于r^2,所以
F2=2kqQ*OP/r^3.
电荷q所受合力F=F1+F2=-4kqQ*OP/r^3+2kqQ*OP/r^3=-2kqQ*OP/r^3
因为r=2^(1/2)/(2a),所以
F=-2kqQ*OP/r^3
=-2kqQ*OP/[2^(3/2)*a^3]
=-kqQ/[2^(1/2)*a^3]*OP
=-K*OP 其中K=kqQ/[2^(1/2)*a^3]
可见q受力满足胡克定律 T=2*pi*(m/K)^(1/2)=2*pi*{m*[2^(1/2)*a^3]/kqQ}^(1/2)