余式定理习题有一个三次多项式,被x^2+x+1除时余5x-3,被x-1除时余-4,求此多项式

Question

余式定理习题
有一个三次多项式,被x^2+x+1除时余5x-3,被x-1除时余-4,求此多项式

Answer 1

根据题意,得f(1)=-4,f(x)=(x^2+x+1)g(x)+5x-3,
则x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+5x-3（其中a(x2+x+1)+5x-3为余式）
又f(1)=-4
所以f(1)=3a+5-3=-4
所以a=-2,因此余式为-2x^2+3x-5
故此方程为x^3+x^2+x-2x^2+3x-5=x^3-x^2+4x-5