单摆的频率与速度为什么无关?求的速度变小了,周期不就长了吗,频率不就变小了?为什么说是无关的?

Question

单摆的频率与速度为什么无关?
求的速度变小了,周期不就长了吗,频率不就变小了?为什么说是无关的?

Answer 1

设摆长为l其,张力为T ,摆锤mg,作弧线运动,偏离角度@（我不知道怎么用手机输theta),设有xy方向,在摆锤到达最底点(平衡点）时,x为零,分解张力,y方向为Tcos@,x为Tsin@,
(1)现在有x方向运动方程：根据牛顿定律ma=mx的二阶导=-T(@)sin@=-T(@)x/l
(2)y方向运动方程:my的二阶导=T(@)cos@-mg
我们现在取小角度近似值cos@将接近于1(cos5度=0.996 cos10度=0.985,和1比只有百分之1.5的差),而摆锤离开平衡点的y方向的偏离比x方向偏离来得小,我们可以说y方向的加速度约为0.
在小角度的y方向运动方程为0=T(@)-mg,T(不再是关于@的函数了!)=mg.带入等式1:mx二次导+mgx/l=0;x二次导+g/l*x=0这个微分方程的解法是x=A(振幅)*cos(w(是omega角频率哈)t+phi);w=根号g/l;而周期T=2pi*根号l/g,也就是2pi/w
所以呢,周期与角频率有关,与速度没关!