设p，q是实数，证明：方程x2+p|x|=qx-1有4个实根的充要条件是p+|q|+2＜0．

Question

设p，q是实数，证明：方程x²+p|x|=qx-1有4个实根的充要条件是p+|q|+2＜0．

Answer 1

若方程x²+p|x|=qx-1有4个实数根，则等价为方程有两个不同的正根和两个不同的负根，
若x＞0 时，方程等价为x²+px-qx+1=0，即x²+（p-q）x+1=0，
若满足

△＝(p−q)2−4＞0

−(p−q)/(2)＞0

，即

p−q＞2或p−q＜−2

p−q＜0

，即p-q＜-2，
则p-q+2＜0，
若x＜0 时，方程等价为x²-px-qx+1=0，即x²-（p+q）x+1=0，
若满足

△＝(p+q)2−4＞0

−(−(p+q))/(2)＜0

，即

作业帮用户 2017-11-04

问题解析

根据二次函数的图象和性质，分别讨论对称轴和判别式△，即可得到结论．

名师点评

本题考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：

本题主要考查方程根的个数的应用，利用一元二次方程的图象和性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．

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