观察并验证下列等式：13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，（1）续写等式：13+23+33+43+53=；（写出最后结果）（2）我们已经知道1+2+3+…+n=12n（n+1

Question

观察并验证下列等式：
1³+2³=（1+2）²=9，
1³+2³+3³=（1+2+3）²=36，
1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²=100，
（1）续写等式：1³+2³+3³+4³+5³=___；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n= (1)/(2)n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=___；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
①3³+6³+9³+…+57³+60³
②1³+3³+5³+…+（2n-1）³
（4）试对（2）中得到的结论进行证明．

Answer 1

（1）（1+2+3+4+5）²=225            
（2）原式=[(1)/(2)n（n+1）]²=(1)/(4)n²（n+1）²
（3）①原式=（3×1）³+（3×2）³+（3×3）³+…+（3×20）³
=27×1³+27×2³+27×3³+…+27×20³
=27（1³+2³+3³+…+20³）
=27×(1)/(4)×20²×21²
=27×44100
=1190700
②原式=[1³+2³+3³+…+（2n）³]-[2³+4³+6³+…+（2n）³]
=(1)/(4)（2n）²（2n+1）²-8（1³+2³+3³…+n³）
=(1)/(4)×4n²（2n+1）²-8×(1)/(4)×n²×（n+1）²
=n²（2n+1）²-2n²（n+1）²
=n²（2n²-1）
=2n⁴-n²
（4）∵（n+1）³=n³+3n²+3n+1
∴（n+1）³-n³=3n²+3n+1
∴n³-（n-1）³=3（n-1）²+3（n-1）+1
…
∴3³-2³=3×2²+3×2+1，
∴2³-1³=3×1²+3×1+1
上述n个等式相加，得
（n+1）³-1³=3（1²+2²+…+n²）+3（1+2+…+n）+n
∴3（1²+2²+…+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+…+n）-n
=（n+1）³-3×(n(n+1))/(2)-（n+1）
=（n+1）[（n+1）²-(3)/(2)n-1]
=（n+1）（n²+(1)/(2)n）
∴1²+2²+…+n²=(1)/(6)n（n+1）（2n+1）
∵（n+1）⁴=n⁴+4n³+6n²+4n+1，
∴（n+1）⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1，
∴n⁴-（n-1）⁴=4（n-1）³+6（n-1）²+4（n-1）+1，
…
3⁴-2⁴=4×2³+6×2²+4×2+1
2⁴-1⁴=4×1³+6×1²+4×1+1
上述n个等式相加，得
（n+1）⁴-n⁴=4（1³+2³+…+n³）+6（1²+2²+…+n²）+4（1+2+…+n）+n，
∴4（1³+2³+…+n³）=（n+1）⁴-1-6（1²+2²+…+n²）-4（1+2+…+n）-n
=（n+1）⁴-6×(1)/(6)n（n+1）（2n+1）-4×(n(n+1))/(2)-（n+1）
=（n+1）[（n+1）³-n（2n+1）-2n-1]
=（n+1）（n³+n²）
∴1³+2³+…+n³=(1)/(4)n²（n+1）²
故答案为（1）225；（2）(1)/(4)n²（n+1）²