f(x)是定义在非负实数集上,且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)(1)f[xf(y)]f(y)=f(x+y)(2)f(2)=0(3)当0≤x＜2时,f(x)≠0

Question

f(x)是定义在非负实数集上,且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)
(1)f[xf(y)]f(y)=f(x+y)
(2)f(2)=0
(3)当0≤x＜2时,f(x)≠0

Answer 1

令x=0,由(1)有f(0)f(y)=f(y),故f(0)=1
令y=2,由(1)有f(xf(2))f(2)=f(x+2),再由(2)知f(2)=0,故f(x+2)=0对任意的x≥0成立.故当x≥2时f(x)=0恒成立.
令x+y=2 (x,y∈R+),则由(1)知f(xf(2-x))f(2-x)=f(2)=0
因为(3)知当0≤x