若过点p(1,m)与曲线y=3x3相切的直线有3条,求实数的取值范围

Question

若过点p(1,m)与曲线y=3x3相切的直线有3条,求实数的取值范围

Answer 1

曲线y=3x³的切线斜率为
y'=9x²
过点P(1,m)的切线方程为
y-m=y'(x-1)=9x²(x-1)
又切点在曲线上,故有y=3x³
∴3x³-m=9x²(x-1)
整理可得
6x³-9x²+m=0 (1)
切线有3条,则方程(1)必有3个不同的解
设f(x)=6x³-9x²+m
方程(1)有3个不同的解,则对应于
函数f(x)与x轴有3个不同的交点
取 f'(x)=18x²-18x=0 可解得两个极值点分别为
x1=0,x2=1
易知,当x1时,f(x)为增函数
故欲使f(x)与x轴有3个不同交点
则必使其极大值点与极小值点位于x轴异侧
即有f(x1)>0,且f(x2)0,且 6-9+m