已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则2a+3b的最小值为．

Question

已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则 (2)/(a)+ (3)/(b)的最小值为___．

Answer 1

y=ln（x+b）的导数为y′=(1)/(x+b)，
由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1，
可得切点的横坐标为1-b，切点为（1-b，0），
代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b为正实数，
则(2)/(a)+(3)/(b)=（a+b）（(2)/(a)+(3)/(b)）=2+3+(2b)/(a)+(3a)/(b)≥5+2√((2b)/(a)•(3a)/(b))=5+2√(6)．
当且仅当a=(√(6))/(3)b，即a=(3-√(6))/(3)，b=3-√(6)时，取得最小值5+2√(6)．
故答案为：5+2√(6)．