已知实数a，b满足2a2-5lna-b=0，c∈R，则(a-c)2+(b+c)2的最小值为．

Question

已知实数a，b满足2a²-5lna-b=0，c∈R，则 √((a-c)2+(b+c)2)的最小值为___．

Answer 1

分别设y=f（x）=2x²-5lnx（x>0），y=-x，
则√((a-c)2+(b+c)2)表示曲线上y=f（x）的点到直线y=-x的距离，
则√((a-c)2+(b+c)2)的最小值表示为和直线y=-x平行的曲线的切线的之间的距离，
∵f′（x）=2x²-5lnx，
∴f′（x）=4x-(5)/(x)，
∴f′（a）=4a-(5)/(a)=-1，解得a=1，
∴f（1）=2=b，
∴曲线过点（1，2）的切线方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0，
∴直线x+y-3=0与直线y+x=0的距离d=(3)/(√(2))=(3√(2))/(2)，
∴√((a-c)2+(b+c)2)的最小值为(3√(2))/(2)，
故答案为：(3√(2))/(2)．