超急，一道很简单的题假设生产函数Q=K的0.5次方L的0.5次方,劳动价格w=2,资本价格r=3，计算（1）如果生产100单位产量，所需花费的最小成本是多少？（2)如果成本预算为50单位，可以生产的最

Question

超急，一道很简单的题
假设生产函数Q=K的0.5次方L的0.5次方,劳动价格w=2,资本价格r=3，计算 （1）如果生产100单位产量，所需花费的最小成本是多少？（2)如果成本预算为50单位，可以生产的最大产量是多少

Answer 1

(1)
求解最小化问题：
目标函数：min{w*L+r*K}
产量约束：K^(0.5)L^(0.5)=100
拉格朗日方程：Lagranger=w*L+r*K+lambda*[100-K^(0.5)L^(0.5)]
一阶条件：
1，Lagranger对L的偏导为0，即
w-(1/2)lambda*K^(0.5)L^(-0.5)=0
2, Lagranger对K的偏导为0，即
r-(1/2)lambda*K^(-0.5)L^(0.5)=0
3，Lagranger对lambda的偏导为0，即
100-K^(0.5)L^(0.5)=0
三个方程解三个未知数，可以求出lambda=(24)^(0.5)，L=100*(3/2)^(0.5)，K=100*(2/3)^(0.5)。把解出的K和L代入目标函数，得到最小的支出为2*100*(2/3)^(0.5)+3*100*(3/2)^(0.5)。大约是530.72。
(2)求解最大化问题：
目标函数：max{K^0.5L^0.5}
预算约束：w*K+r*L=50
拉格朗日方程：Lagranger=K^0.5L^0.5+lambda*(50-w*L-r*K)
一阶条件：
1，Lagranger对L的偏导为0，即
(1/2)*K^(0.5)L^(-0.5)-lambda*r=0
2, Lagranger对K的偏导为0，即
(1/2)*K^(-0.5)L^(0.5)-lambda*w=0
3，Lagranger对lambda的偏导为0，即
50-w*L-r*K=0
三个方程解三个未知数，可以求出lambda=(1/24)^(0.5)，L=100/13，K=150/13。把解出的K和L代入目标函数，得到最大的产量为(150/13)^(0.5)*(100/13)^(0.5)，大约是6.17个单位。