问一个求导的问题x^y=y^x求dy/dx为什么直接对两边求对数ylnx=xlny这种做法是错的要改成对两边化成e^ylnx=e^xlny解

Question

问一个求导的问题
x^y=y^x 求dy/dx
为什么直接对两边求对数ylnx=xlny 这种做法是错的
要改成对两边化成e^ylnx=e^xlny解

Answer 1

x^y=y^x 求dy/dx,为什么直接对两边取对数ylnx=xlny 这种做法是错的,
要改成e^ylnx=e^xlny形式再求导.
先对两边取对数ylnx=xlny ,然后求导,这种做法没有错!
(一)等式两边取自然对数得ylnx=xlny；两边对x取导数得 y′lnx+(y/x)=lny+(xy′/y).(1)
[lnx-(x/y)]y′=lny-(y/x),故y′=[lny-(y/x)]/[lnx-(x/y)]=y(xlny-y)/[x(ylnx-x)].
(二)把两边改写成e^(ylnx)=e^(xlny)形式再求导
两边对x求导得[e^(ylnx)][y′lnx+(y/x)]=[e^(xlny)][lny+(xy′/y)].(2)
注意：e^(ylnx)=x^y；e^(xlny)=y^x；而x^y=y^x,故可把e^(ylnx)和e^(xlny)从(2)中消去,从而得到：
y′lnx+(y/x)=lny+(xy′/y),这与(1)完全一样,对吗?