定义在R上的奇函数F(X)满足:当X>0时,F(X)=2008^X+log2008X(2008为底数,X为真数)则在R上方程F(X)=0的零点个数是几个?

Question

定义在R上的奇函数F(X)满足:当X>0时,F(X)=2008^X+log2008X(2008为底数,X为真数)
则在R上方程F(X)=0的零点个数是几个?

Answer 1

在R上方程F(X)=0的零点个数是2个.理由如下：
F(X)=2008^X+log2008X(2008为底数,X为真数)的值域是R,因为x趋近于0时,2008^X的值趋近于1,log2008X(2008为底数,X为真数)的值趋近于-∞;x趋近于+∞时,2008^X的值、log2008X(2008为底数,X为真数)的值都趋近于+∞,并且时连续函数；即值域是R.
F(X)=2008^X+log2008X(2008为底数,X为真数)是增函数,证明如下：
令X1、X2∈[0,+∞],且X1＜X2,则X1/X2＜1
所以F(X1)－F(X2)=2008^X1－2008^X2＋log2008 X1－log2008 X2＝2008^X1－2008^X2＋log2008（X1/X2）
因为f(x)=2008^x单调递增,所以2008^X1－2008^X2＜0,
又X1/X2＜1,所以log2008（X1/X2）＜0
所以F(X1)－F(X2）＜0,即F(X）是增函数
所以当X∈[0,+∞],F(X）与X轴有唯一交点,即只有一个零点.（且不是原点）
再因为F(X）是奇函数,关于原点对称,所以有2个零点.