如图1,点A'B'的坐标分别为(2,0)和(0,-4),将△A'B'O绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△ABO,点A'的对应点是A,点B'的对应点是B（1）写出AB两点的坐标（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴

Question

如图1,点A'B'的坐标分别为(2,0)和(0,-4),将△A'B'O绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△ABO,点A'的对应点是A,点B'的对应点是B
（1）写出A B两点的坐标
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上,D在y轴上,D不与A B重合）,使点B落在x轴上,点B的对应点为E,设点C的坐标为（x,0）,△CDE△ABO重叠部分的面积为S
试求出S与x之间的函数关系以及自变量的取值范围
是否存在这样的点C,使得△ADB为直角三角形,求出点C坐标

Answer 1

（1）A（0,2）,B（4,0）（2分）
设直线AB的解析式y=kx+b,则有

b＝2
4k+b＝0

解得

k＝−1
2

b＝2

∴直线AB的解析式为y＝−
1
2
x+2（3分）
（2）i）①点E在原点和x轴正半轴上时,重叠部分是△CDE．
则S△CDE=
1
2
BC×CD＝
1
2
(4−x)(−
1
2
x+2)
=
1
4
x2−2x+4
当E与O重合时,CE＝
1
2
BO＝2
∴2≤x＜4（4分）
②当E在x轴的负半轴上时,设DE与y轴交于点F,则重叠部分为梯形
∵△OFE∽△OAB
∴
OF
OE
＝
OA
0B
＝
1
2
,
∴OF＝
1
2
OE
又∵OE=4-2x
∴OF＝
1
2
(4−2x)＝2−x
∴S四边形CDFO＝
x
2
×[2−x+(−
1
2
x+2)]
=−
3
4
x2+2x（5分）
当点C与点O重合时,点C的坐标为（0,0）
∴0＜x＜2（6分）
综合①②得S＝

1
4
x2−2x+4(2≤x＜4)
−3
4
x2+2x(0＜x＜2)

（7分）
ii）①当2≤x＜4时,S＝
1
4
x2−2x+4＝
1
4
(x−4)2
∴对称轴是直线x=4
∵抛物线开口向上,
∴在2≤x＜4中,S随x的增大而减小
∴当x=2时,S的最大值=
1
4
×(2−4)2＝1（8分）
②当0＜x＜2时,S＝−
3
4
x2+2x＝−
3
4
(x−
4
3
)2+
4
3
∴对称轴是直线x＝
4
3
∵抛物线开口向下∴当x＝
4
3
时,S有最大值为
4
3
（9分）
综合①②当x＝
4
3
时,S有最大值为
4
3
（10分）
iii）存在,点C的坐标为（
3
2
,0）和（
5
2
,0）（14分）
附：详①当△ADE以点A为直角顶点时,作AE⊥AB交x轴负半轴于点E,
∵△AOE∽△BOA
∴
EO
AO
＝
AO
BO
＝
1
2
∵AO=2∴EO=1
∴点E坐标为（-1,0）
∴点C的坐标为（
3
2
,0）②当△ADE以点E为直角顶点时
同样有△AOE∽△BOA
OE
AO
＝
OA
BO
＝
1
2
∴EO=1∴E（1,0）
∴点C的坐标（
5
2
,0）
综合①②知满足条件的坐标有（
3
2
,0）和（
5
2
,0）．