（2013•奉贤区一模）如图，已知直线y=x与二次函数y=x2+bx+c的图象交于点A、O，（O是坐标原点），点P为二次函数图象的顶点，OA=32，AP的中点为B．（1）求二次函数的解析式；（2）求线段OB的

Question

（2013•奉贤区一模）如图，已知直线y=x与二次函数y=x²+bx+c的图象交于点A、O，（O是坐标原点），点P为二次函数图象的顶点，OA=3√(2)，AP的中点为B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求线段OB的长；
（3）若射线OB上存在点Q，使得△AOQ与△AOP相似，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵点A在直线y=x上，且OA=3√(2)，
∴A点的坐标是（3，3，）
∵点O（0，0），A（3，3）在函数y=x²+bx+c的图象上，
∴

0＝c

9+3b+c＝3

，
解得：

b＝−2

c＝0

，
故二次函数的解析式是y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴顶点P的坐标为（1，-1）
∴PO=√(12+12)=√(2)，AP=2√(5)，
∴AO²+PO²=AP²，
∴∠AOP=90°，
∴△AOP是直角三角形，
∵B为AP的中点，
∴OB=√(5)；

（3）∵∠AOP=90°，B为AP的中点，
∴OB=AB，
∴∠AOB=∠OAB，
若△AOQ与△AOP相似，
则①△AOP∽△OQA时，
∴(AO)/(OQ)＝(AP)/(OA)，
∴OQ₁=(9√(5))/(5)；
②△AOP∽△OAQ时，
∴(AO)/(OA)＝(AP)/(OQ)，
∴OQ₂=2√(5)，
∵点P的坐标为（1，-1），A点的坐标是（3，3，），B为AP的中点，
∴B点的横坐标=(1+3)/(2)=2，纵坐标=(−1+3)/(2)=1，
∴B点的坐标为（2，1），
∴Q₁（(18)/(5)，(9)/(5)），Q₂（4，2）
即点Q的坐标分别是Q₁（(18)/(5)，(9)/(5)），Q₂（4，2）．