已知函数f(x)=a*x的图像过点(1,1/2),且点(n-1,an/n*2)在函数f(x)=a*x的图像上（1）求数列的通项公式（2）令bn=a(n+1)-1/2an,若该数列的前n项和为Sn,求证：Sn＜5

Question

已知函数f(x)=a*x的图像过点(1,1/2),且点(n-1,an/n*2)在函数f(x)=a*x的图像上
（1）求数列的通项公式
（2）令bn=a(n+1)-1/2an,若该数列的前n项和为Sn,求证：Sn＜5

Answer 1

1）由已知,a^1=1/2,所以 a=1/2 .
因为 (1/2)^(n-1)=an/n^2 ,所以 an=n^2*(1/2)^(n-1) .
2）由1）得,bn=(n+1)^2/2^n-n^2/2^n=(2n+1)/2^n ,
Sn=3/2+5/4+7/8+.+(2n+1)/2^n ,
2Sn=3+5/2+7/4+.+(2n-1)/2^(n-2)+(2n+1)/2^(n-1) ,
两式相减得 Sn=3+[1+1/2+1/4+...+1/2^(n-2)]-(2n+1)/2^n
=3+[2-1/2^(n-2)]-(2n+1)/2^n
=5-(2n+5)/2^n