设连续型随机变量X在[-π2，π2]上服从均匀分布，求随机变量Y=cosX的概率密度．

Question

设连续型随机变量X在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上服从均匀分布，求随机变量Y=cosX的概率密度．

Answer 1

设Y的概率密度为f_Y（x），分布函数为F_Y（x），
由于X在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上服从均匀分布
∴Y=cosX∈[0，1]，因此，对于∀y∈[0，1]，有
FY(y)＝P(Y≤y)＝P(cosX≤y)＝P(arccosy≤X≤(π)/(2))
再由X在[-(π)/(2)，(π)/(2)]上服从均匀分布，上式就为
F_Y（y）=

∫	(π)/(2) arccosy

(1)/(π)dx＝(1)/(2)−(1)/(π)arccosy
∴fY(x)＝[FY(y)]′＝(1)/(π√(1−y2))，y∈[0，1]，
∴fY(y)＝

(1)/(π√(1−y2))	，0＜y＜1
0	，其它