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设连续型随机变量X在[-π2,π2]上服从均匀分布,求随机变量Y=cosX的概率密度.
题目详情
设连续型随机变量X在[-
,
]上服从均匀分布,求随机变量Y=cosX的概率密度.
π |
2 |
π |
2 |
▼优质解答
答案和解析
设Y的概率密度为fY(x),分布函数为FY(x),
由于X在[-
,
]上服从均匀分布
∴Y=cosX∈[0,1],因此,对于∀y∈[0,1],有
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)=P(arccosy≤X≤
)
再由X在[-
,
]上服从均匀分布,上式就为
FY(y)=
dx=
−
arccosy
∴fY(x)=[FY(y)]′=
,y∈[0,1],
∴fY(y)=
由于X在[-
π |
2 |
π |
2 |
∴Y=cosX∈[0,1],因此,对于∀y∈[0,1],有
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)=P(arccosy≤X≤
π |
2 |
再由X在[-
π |
2 |
π |
2 |
FY(y)=
∫ |
arccosy |
1 |
π |
1 |
2 |
1 |
π |
∴fY(x)=[FY(y)]′=
1 | ||
π
|
∴fY(y)=
|
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