已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点(2，3−1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．

Question

已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点(2 ，  √(3)−1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．

Answer 1

（1）由圆心公式：(1)/(2)（x₁+x₂）=(1)/(2)（-1+3）=1
圆心应该在x=1这条直线上．
设：圆心为（1，y），到（-1，0）的距离=到（0，1）的距离：
∴（1+1）²+y²=1²+（y-1）²
解得y=-1
∴圆心为（1，-1）
∴r²=（1+1）²+y²=4+1=5
∴圆的方程为：
（x-1）²+（y+1）²=5
（2）当直线斜率不存在时即直线与x轴垂直时，把x=2代入圆方程求得y=1或-3，
∴|AB|=1+3=4符合题意
当直线斜率存在时，设直线方程为y-√(3)+1=k（x-2）
由直线l被圆C截得的弦AB的长为4，圆的半径为√(5)可求得圆心到直线的距离为√(5-4)=1
∵圆心到直线的距离d=(|k+1-2k+√(3)-1|)/(√(k2+1))=1求得k=(√(3))/(3)
∴倾斜角的正切为(√(3))/(3)，倾斜角为30°