已知过点A（3，-2）的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1：x-2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距是．

Question

已知过点A（3，-2）的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l₁：x-2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距是______．

Answer 1

当直线l斜率k不存在时，
直线l的方程为x=3，
则交x轴正半轴于点B（3，0），
交直线l₁：x-2y=0于点C（3，(3)/(2)），
则|AB|=2，|BC|=(3)/(2)不符合条件．
当直线l的斜率k存在时，设l的解析式为y+2=k（x-3），即y=kx-3k-2，
则直线l交x轴正半轴于点B（(2)/(k)+3，0），
交直线l₁：x-2y=0于点C（(6k+4)/(2k−1)，(3k+2)/(2k−1)），
分别过A点和C点做x轴的垂线，我们发现AB：BC=y_A：y_C，
（两个直角三角形是相似三角形所以斜边长之比等于直角边之比），
∵|AB|=2|BC|，
∴(|−2|)/(|(3k+2)/(2k−1)|)＝2，解得k=-3或k=-(1)/(5)（舍），
∴k=-3，∴y轴上的截距为-3k-2=9-2=7．
故答案为：7．